瀬山士郎の数学よもやま話

「瀬山士郎の数学よもやま話」にまた面白い話が。2つの封筒に金が入っていて、それぞれx円と2x円である。どちらを取ってもいい。x円を得る確率は1/2、2x円を得る確率も1/2である。片方を取った後、取り換えてもいい。取り換えても確率は同じだ。中を開けて中を見てから取り換えてもいい。開けてみると1万円入っていた。するともう一つの封筒の中身は、5,000円か2万円である。取り換えた場合の期待値は、5,000円÷2+2万円÷2=12,500円となる。すると取り換えた方が得だが、これは中を見たからなのか。しかし、手に取った封筒の中を見なくても、中身a円に対してもう一方はa/2円か2a円であり、期待値はやはりa/2円÷2+2a円÷2=1.25a円であり同じく取り換えた方が得となる。手に取った瞬間に、取り換えた方が得になる逆説か。

思うに封筒の中身をp円と2p円とすると、最初の期待値は1.5p円である。p円の封筒を取った場合の交換期待値は2p円である。2p円の封筒を取った場合の交換期待値はp円である。取った封筒がp円か2p円かは同確率であるから、やはり交換期待値は1.5p円となり、取る前と同じである。瀬山氏の「話術」ではx円とa円とで持つ意味が変えてあり(逆に言えば、変えてあることで意味が違うことを示している)、そこがミソなのであろう。これが金額がp円と10,000p円とだったらどうか。封筒を開けたら1万円が入っていた。もう片方の封筒には1円か1億円が。そこは小切手として、誰しも交換するだろうが…


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